Álgebra linear Exemplos

5 x + 3 = 4 y

$5 x + 3 = 4 y$ ,

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Etapa 1

Mova todas as variáveis para o lado esquerdo de cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia

4 y

$4 y$ dos dois lados da equação.

5 x + 3 - 4 y = 0

$5 x + 3 - 4 y = 0$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Etapa 1.2

Subtraia

3

$3$ dos dois lados da equação.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Etapa 1.3

Subtraia

8 x

$8 x$ dos dois lados da equação.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y - 8 x = - 2

$y - 8 x = - 2$

Etapa 1.4

Reordene

y

$y$ e

- 8 x

$- 8 x$ .

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

Etapa 2

Represente o sistema de equações em formato de matriz.

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Etapa 3

Encontre o determinante da matriz de coeficientes

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Escreva

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ na notação de determinante.

| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Etapa 3.3

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique

5

$5$ por

1

$1$ .

5 - (- 8 \cdot - 4)

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique

- (- 8 \cdot - 4)

$- (- 8 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique

- 8

$- 8$ por

- 4

$- 4$ .

5 - 1 \cdot 32

$5 - 1 \cdot 32$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

32

$32$ .

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

Etapa 3.3.2

Subtraia

32

$32$ de

5

$5$ .

- 27

$- 27$

- 27

$- 27$

D = - 27

$D = - 27$

Etapa 4

Como o determinante não é

0

$0$ , o sistema pode ser resolvido usando a Regra de Cramer.

Etapa 5

Encontre o valor de

x

$x$ pela regra de Cramer, que afirma que

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a coluna

1

$1$ da matriz de coeficientes que corresponde aos coeficientes

x

$x$ do sistema por

[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 5.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique

- 3

$- 3$ por

1

$1$ .

- 3 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique

- (- 2 \cdot - 4)

$- (- 2 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique

- 2

$- 2$ por

- 4

$- 4$ .

- 3 - 1 \cdot 8

$- 3 - 1 \cdot 8$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

8

$8$ .

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia

8

$8$ de

- 3

$- 3$ .

- 11

$- 11$

- 11

$- 11$

D_{x} = - 11

$D_{x} = - 11$

Etapa 5.3

Use a fórmula para resolver

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Etapa 5.4

Substitua

- 27

$- 27$ por

D

$D$ e

- 11

$- 11$ por

D_{x}

$D_{x}$ na fórmula.

x = \frac{- 11}{- 27}

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Etapa 5.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

Etapa 6

Encontre o valor de

y

$y$ pela regra de Cramer, que afirma que

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a coluna

2

$2$ da matriz de coeficientes que corresponde aos coeficientes

y

$y$ do sistema por

[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Etapa 6.2

Encontre o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique

5

$5$ por

- 2

$- 2$ .

- 10 - (- 8 \cdot - 3)

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique

- (- 8 \cdot - 3)

$- (- 8 \cdot - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Multiplique

- 8

$- 8$ por

- 3

$- 3$ .

- 10 - 1 \cdot 24

$- 10 - 1 \cdot 24$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

24

$24$ .

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia

24

$24$ de

- 10

$- 10$ .

- 34

$- 34$

- 34

$- 34$

D_{y} = - 34

$D_{y} = - 34$

Etapa 6.3

Use a fórmula para resolver

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Etapa 6.4

Substitua

- 27

$- 27$ por

D

$D$ e

- 34

$- 34$ por

D_{y}

$D_{y}$ na fórmula.

y = \frac{- 34}{- 27}

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Etapa 6.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

Etapa 7

Liste a solução para o sistema de equações.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$